\\ \displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} k (k+1) \\ Σで和を求めるには一般項がわからないとダメなので，まずは一般項を求めます！, 与えられた数列の第 \( k \) 項を \( a_k \) とし，求める和を \( S_n \) とする。, \( \displaystyle \color{red}{ a_k } = \sum_{i=1}^{k} i \color{red}{ = \frac{1}{2} k (k+1) } \), \( \begin{align} \\ 等差数列の和の公式 忘れちゃった… 算数パパ. \end{align} \), \( a_k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} \) となる。, つまり，\( a_k \) は初項1，公比2，項数 \( k \) の等比数列の和であるから, \( \displaystyle \color{red}{ a_k } = \frac{1 \cdot (2^k – 1)}{2-1} \color{red}{ = 2^k – 1 } \), \( \begin{align} \displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 & = (n+1)^3 – 1 – \frac{3}{2} n (n+1) – n \\ & = \frac{1}{6} n \left\{ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) – 36 \right\} \\ ぜひ勉強の参考にしてください！, \( \displaystyle \large{ \sum_{k=1}^{n} a_k = \underbrace{ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}_{1からnまで} } \), \( \displaystyle 1. & = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \\ & \color{red}{ = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k } \\ & = 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + 3n \\ \displaystyle & = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k – 6) \\ \end{align} \), 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) と定数 \( p \) に対して, \( \begin{align} \\ & \color{red}{ = \frac{1}{2} n (n+1) } このページでは、数学B数列の「シグマ記号（Σ）」について解説します。, 和の記号であるΣ（シグマ）の公式と性質（計算方法）を，具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます。 \\ & \color{red}{ = \frac{1}{3} n (n^2 + 3n – 16) \cdots 【答】 } \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } } \), \( \displaystyle 5. 4, 10 ,16, 22, 28, ・・・・・ のような等差数列があります。 78番目までの和 はいくつですか. \displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} p a_k } \\ \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } } \), （公式の証明はこのあとの「4. & \color{red}{ = p \sum_{k=1}^{n} a_k } Σシグマの公式の証明（数列の和の公式の証明）」で解説しています。）, \( \displaystyle 1. \\ & = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) \right\} \\ \\ この計算式を見つけました。有難うございます。７０歳男性より。, 1/2ｎ（ｎ+1）＝３×1/6ｎ（n+1）なので、1/6n(n+1)×(2n+1)+1/6ｎ（n+1）×3＝1/6n(n+1)（2n＋1＋3）だからですね, すみません上記のものはミスです。 高校数学/物理/化学と線形代数をメインに解説!いつ・どこでもわかりやすい、差が付く記事が読めます!社会人の方の学び直し(リカレント教育)にも最適です。, 例えば、初項１、公差１、項数１０の等差数列の和でこの公式の意味をイメージして貰います。, と（初項１）＋（末項１０）を足した数（＝11）が（項数10）の半分（＝２で割った）である（５個）並ぶので、この数列の和は５５となり、確かに上の等差数列の和の公式と一致します。, $$S_{n}=\frac {a_{1}(r^{n}-1)}{r-1},r\neq 1$$, \(S_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}・・・（＊）\), \(rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}・・・（＊＊）\), \(\begin{aligned}rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}\\, すると、間の項がうまく打ち消しあって、\(rS_{n}-S_{n}=-a+ar^{n}\)となります。, 「Ak（kの式）をΣ記号の下に表記されているk＝１、即ちA1から、Σ記号の上に表記されているn項目Anまで全て足し合わせますよ」、と言っているのです。, $$\sum ^{10}_{k=1}k=1+2+\ldots +8+9+10=55$$, このkの文字は添え字と呼ばれて、iやj等、他の文字でおくこともありますが、意味は同じです。, $$\sum ^{n}_{k=1}k^{2}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$$, $$\sum ^{n}_{k=1}k^{3}=\frac {\{n(n+1)\} ^{2}}{4}$$, $$\sum ^{n}_{k=1}k^{3}+\sum ^{n}_{k=1}k^{2}+\sum ^{n}_{k=1}k+\sum ^{n}_{k=1}1と$$, シグマに関しては、以上の基本を知っていれば、あとは数をこなせば十分使いこなせるようになるはずです。, 次のステップとして、階差数列の範囲も理解できるようになるはずなので、一番初めに紹介した記事の、, 上の記事では、部分分数分解を用いて、うまく数列の項を打ち消して和を求める方法を解説しています。, プロ講師(数学/物理/化学/英語/社会)兼個別指導塾YES主宰/当サイト「スマホで学ぶサイト、スマナビング！」を運営しています。/指導中、実際に生徒が苦手意識を持っている単元について解説記事を執筆。詳細は【運営元ページ】をご覧ください。, スマナビング！は、いつ・どこでも(独学でも)資格試験(電験三種、数検、統計検定・就活のためのSPI(非言語)etc,,,)対策や、テスト勉強対策が出来るサイトです。. $\begin{eqnarray}\textcolor{red}{78番目までの和} &\textcolor{red}{=}& \textcolor{red}{\frac{\displaystyle 項数\times\{2\times初項+(項数-1)\times等差\}}{\displaystyle2}\dots公式}\\&=& \frac{\displaystyle 78\times\{2\times4+(78-1)\times6\}}{\displaystyle2}\\&=&18330\end{eqnarray}$, $\textcolor{red}{S_n=\frac{\displaystyle n\{2a+(n-1)d\}}{\displaystyle2}}$, $\textcolor{red}{S_n=\frac{\displaystyle n(a+l)}{\displaystyle 2}}$, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 は、1から始まる 等差 1 の 等差数列とも言えます。, すると…$1+10=11$$2+9=11$$\vdots$$10+1=11$縦方向で足した答えは 全て $\textcolor{red}{11}$ となります。, この $\textcolor{red}{11}$ が $1\sim10$まで$10$個 あるので, これは、元々の $1\sim10$までの和 の2つ分なので、$1$つの式の和は2で割って, $110\div2=\underline{\textcolor{red}{55}}$, $S_n=\frac{\displaystyle n(a+l)}{\displaystyle 2}$(初項$a$・末項$l$・項数$n$), [Link]等差数列は植木算かもしれない! \end{align} \), (2) \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) } \), \( \begin{align} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+4) \\ & = n^3 + 3n^2 + 3n – \frac{3}{2}n^2 – \frac{5}{2} n \\ 3乗の和の公式までは教科書で扱っているので証明は省略します。3乗の和まで公式があるのなら4乗や5乗の和はどうなるのか気になるところです。4乗以降の公式を覚える必要はありませんが， 一般化したくなる気持ちは重要です。 \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a = na } } \), \( \displaystyle 2. \\ \\ & = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 6 \\ \ \large{ \sum_{k=1}^{n} p a_k = p \sum_{k=1}^{n} a_k } \), 特に \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (p a_k + q b_k) = p \sum_{k=1}^{n} a_k + q \sum_{k=1}^{n} b_k \), 2つの数列 \( \left\{ a_n \right\} \)，\( \left\{ b_n \right\} \) に対して, \( \begin{align} ＊この記事では、$$等差数列の一般項a_{n}=a_{1}+d( n-1)と $$, 数列の和、特にシグマ記号に苦手意識を持っている人が多いですが、具体例とともに見ていくと案外単純であることに気付くと思います。, Σは数列の問題を解く上で外せない分野なのでこの記事でしっかりと抑えておきましょう。, $$S_{n}=\frac {\{(初項)+(末項)\} \times (項数) }{2}$$. そうだね。式を見るだけでは分からない。だから，$\sum$を使わずに表すことが重要ってことになる。, 最初に書かれた式には0になる項が含まれていて，順番が逆になってたけど，これでスッキリした形になったね。これを $\sum$ を使って表すとどうなる？, 今は分かりやすくするために，$\sum$ を使って書き直してもらったけど，そこまでしなくても，もう答えは分かるよね？, 大学入試で出題される数学の問題を解くときの着眼点・考え方・解法の糸口の掴み方を伝えます。, シグマ計算の問題では，どんな数が足されているかを調べるために，具体的に書き出してみよう。, \begin{align*}\sum_{k=1}^n(n-k)^3=(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+\cdots+1^3+0^3\end{align*}. 数列の和を求めるとき、式変形をするたびに毎回数列をすべて書いていたら、スペースがいくらあっても足りません。, そのため、多くの場合は総和記号 Σ （シグマ）を使ってまとめて計算することになります。, Σ の式は、k に「k = 1,2,3,…,n-1,n」をそれぞれ代入した n 個の数列の合計を意味する式です。, Σ を使った計算をするときは、頭の中で k = 1 から n までを代入した数列をイメージしながら計算すると良いでしょう。, (1)は、a が n 個並んだ数列「a + a + … + a」をイメージしたら分かる通り、a の n 倍になります。, 数学者カール・フリードリヒ・ガウスが小学生のとき「1から100までの数字をすべて足しなさい」という課題を出され、「1+100=101、2+99=101、…、50+51=101」となるので答えは101×50=5050、と即答して教師を驚かせた逸話で有名な公式です。, この公式は、1 から n までの数字の総和を「S」とおいたときに「Sの2倍」がちょうど(n+1)を n 回足したのと同じになることをイメージすると覚えやすくなります。, 一方、(4)はちょうど「(2)：1 から n までの総和」の公式の2乗なので、(2)を覚えておけば簡単に暗記できますね。, 最後は、初項 a 公比 r の等比数列の第n項までの総和の公式 (※ r ≠ 1 ), n の式だとややこしそうに見えるかもしれませんが、実際に n =2 , 3 を代入するとキチンと等比数列の総和になっているのが分かります。, この公式は、初項 a 公比 r の等比数列の第n項までの総和を「P」とおいたときに「Pの r 倍」から「P」を引くと「初項と末項」以外のすべての項が消えるのをイメージすると覚えやすくなりますよ。, 社会人になってからは「(5)：等比数列の公式」を一番よく使ってる感じがします。仕事で統計学を使うときは頻繁に Σ を見かけることになるので、学生のうちに慣れておきたいところです。, 総和記号 Σ シグマの計算法と5つの公式。等差数列・等比数列を分かりやすく考えるコツ, 円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について, 分数の割り算はなぜひっくり返してかけるのか？その理由を説明する3つの教え方【逆数をかける理由】, 素数とは何か。素数の一覧とその利点について【1と自分自身でしか割り切れない数の強みとは？】. \\ 4Σ2^(k-1) で, Leading Up System（通称“LUS”）とは、「知識ゼロの状態」→「東大合格レベル」まで約2600題の解説授業、いつでも受け放題のWEBテスト、参考書がもはや不要になるレベルアップテキストを完全整備したオンラインスクール。全国の受講者累計3400名を突破しました（2019年10月時点）。, 東大塾長の公式LINEに登録すると、Leading Up Systemの案内を受け取ることができます。, LINE登録したからといって、とくに料金が発生することもありません。また期間限定のためいつまで公開するかもわかりません。気になる方は上記ページより今すぐ登録しておいてください。. スマホで学ぶサイト、 スマナビング！ All Rights Reserved. Σ2^(k+1) なのでしたら \\ & = \frac{1}{2} n (2n^2 + 3n + 1) \\ ここでは，三角関数を含む方程式の解の個数について説明します。 一般に，方程式の解の個数を求める方法と... ここでは2つの円の共有点を求める方法について説明します。 円と直線の共有点の座標を求める問題と比べる... $\displaystyle \sum_{k=1}^n(n-k)^3$ を楽に計算する方法. 2015-07-21; 2020-10-16; 周期性; 公式, 和, 等差数列; 周期性. \\ \\ 次で実際に問題を解きながら解説していきます。, (1) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k+3) \), (2) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) \), (1)は，Σの公式と性質を利用して一発です。 & = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) \\ \\ \end{align} \), 今回は数列の一般項が与えられていません。 シグマ計算には数学が得意な人だけが知っているコツがあります。数学が苦手な人は公式を考えますが，得意な人は最初に公式を考えません。この記事を読んで，数学が得意な人と同じ思考ができるように … \displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) } \\ & = \frac{1}{2} n (n+1) (2n+1) & = p ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n ) \\ \\ & = 2n^2 + 2n + 3n \\ 知りたがり. \end{align} \), 【証明③】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } \)」, \( (k+1)^3 – k^3 = 3k^2 + 3k + 1 \cdots ① \), ①で \( k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n \) を代入すると, \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) \) を代入して整理すると, \( \displaystyle (n+1)^3 – 1^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + n \), \( \begin{align} \\ & \color{red}{ = 2^{n+1} – n – 2 \cdots 【答】 } \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) } } \), \( \displaystyle 3. ?で詳しく説明していますので、式だけ書くと $78$番目は、, つまり、$78$番目までの和とは、 $4+10+16+\dots+460+466$の和となります。このたし算を計算するために、順番をひっくり返します。, この縦の列は、$\textcolor{red}{78}$個 ありますので、その合計は, この数値は 求めるべき$4+10+16+\dots+460+466$の$2$個分ですので、求めるべき$78$番目までの和は、2で割って, 結論として、等差数列の和の公式は覚えなくても良いです。それよりも、一つ一つ計算をして答えを出す力が大事です。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 元塾講師(中学受験 算数, 理科・中学高校 数学,物理,科学)小学4年生から塾に通い、中学受験の経験あります。最近は、子どもやお友達に家で算数・数学を教えています。. & = \frac{2(2^n – 1)}{2-1} – n \\ \end{align} \), ∴ \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } \), 【証明④】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } \)」, \( (k+1)^4 – k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \cdots ② \), ②で \( k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n \) を代入すると, \( \displaystyle ∴ \ (n+1)^4 – 1 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) (2n+1) + n \), \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 \) について解くと, \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } \), 【証明⑤】「\( \displaystyle \small{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } } \)」, 初項 \( a \)，公比 \( r \)，項数 \( n \) の等比数列の和を \( S_n \) とすると, \( \displaystyle S_n = \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } \), テニスコートでボールの回収時三角錐状にボールを重ねており、 & \color{red}{ = \frac{1}{6} n (n+1) (n+2) \cdots 【答】 } \displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} (2^k – 1) \\ Σシグマの公式まとめと計算方法（数列の和の公式） 389.7k件のビュー 数列漸化式の解き方10パターンまとめ 289.4k件のビュー 【2019年版】模試日程まとめ（河合塾・駿台・東進・代ゼミ） 272.6k件のビュー \\ \\ \\ & = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right) \\ \end{align} \), 以上のΣの性質と和の公式を利用すると，いろいろな数列の和が求められるようになります！ & = pa_1 + pa_2 + \cdots + pa_n \\ & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \cdots + (a_n + b_n) \\ Σ （シグマ）を使った計算では、覚えておくと便利な公式がいくつかあります。 ここでは、以下の5つの公式について軽く解説していきます。 (1) a が n 個並んだ数列 数列の和とΣ(シグマ)記号の意味と使い方 ＊この記事では、$$等差数列の一般項a_{n}=a_{1}+d( n-1)と $$ $$等比数列の一般項a_{n}=a_{1}\times r^{n-1}$$ は既知として、Σ公式やその証明などを解説していきま … \\ \ \large{ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k } \), \( \displaystyle 2. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } } \), \( \displaystyle 4. & = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) – 6n \\ \\ \\ \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k } & = 1+2+3+ \cdots + n \\ 公式は覚えている方が良いのですが、覚えたことは忘れるという話もしましたね？ 公式を忘れた時のために、公式の導出方法を覚えておくということが万一のときのための保険として機能するのです。 公式の導出ができるというのは、その公式について深く理解できているということになりま� & \color{red}{ = 2n^2 + 5n \cdots 【答】 } & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) \left\{ (2n+1) + 3 \right\} \\ \\ \\ 東大塾長の山田です。 大学入試問題で出題される円には，直線に接する円，放物線に接する円，円に接する円など，様々な円がありま... ここでは恒等式に関する問題について説明します。 大学入試では，次数が文字で表された関数の次数を求める... ここでは2次方程式の実数解の個数を判別する方法について説明します。 与えられた2次方程式の係数が定数... 外積は2つのベクトルに垂直なベクトルを求める方法に活用できます。また，外積のもつ性質と内積の図形的意味を利用することで，四面体の体積を求める公式まで簡単に導出できます。外積を使いこなせるようにしましょう！. \\ \\ \\ & = \frac{1}{6} n ( 2n^2 + 6n – 32 ) \\ & = n^3 + \frac{3}{2} n^2 + \frac{1}{2}n \\ \\ (2)は，まず \( (k+3)(k-2) \) を展開して計算をしていきましょう。, (1) \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (4k+3) } \), \( \begin{align} \end{align} \), もうひとつ，シグマを利用する応用の頻出の問題として，「階差数列」と「分数の数列（部分分数分解）」の問題があります。, これらの詳しい解説は「階差数列の全てをわかりやすくまとめた」の記事でしているので，ぜひチェックしてください。, Σシグマの公式の証明は入試問題で出題されることもあるので、ぜひ理解しておきましょう。, 【証明①】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a = na } \)」, 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において，\( a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n = a \) のときは, \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a } = \underbrace{a+a+ \cdots + a }_{n個} \color{red}{ = na } \), 【証明②】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) } \)」, 初項1，末項 \( n \)，公差1，項数 \( n \) の等差数列の和を考えるので, \( \begin{align} 等差数列の和の公式は覚えずに、自分で15秒で作ろう♪ . & = \sum_{k=1}^{n} 2^k – \sum_{k=1}^{n} 1 \\ \displaystyle & = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 \\
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