1.1.1 京大数学では高度な数学力は求められない; 1.1.2 難易度の見極めと時間配分; 2 実際に問題にとりかかる. 実際のところは、工・基礎工・理で合格最低点がだいたい、630～640点ぐらいではないかと予想します。 （2019年11月に行われた特色入試の問題です。 ... IA 16 共通テストIIB 16 東京大学 94 東大理系 58 東大文系 36 京都大学 132 京大理系 62 京大文系 50 京大特色 20 高校入試 5 東京都 5 東京公立 5 競プロ 15 AtCoder 15 PAST 13 ABC 1 AGC 1. \\ &=& \frac{(m - 1)!2^{m - 1}}{2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)\cdots(m+1)m} \\ &=& \frac{(m - 1)!2^{m - 1}}{2m(2m-1)\cdot 2^{m - 1}(m-\frac{2}{2})(m-\frac{3}{2})\cdots(m-\frac{m - 1}{2})(m-\frac{m}{2})} \\ &\le& \frac{(m - 1)!2^{m - 1}}{2m(2m-1)\cdot 2^{m - 1}(m - 1)(m-2)\cdots(m-(m - 2))(m-(m - 1))} \\ &=& \frac{1}{2m(2m-1)} \\ \therefore A_{2m} &\le& \frac{1}{2m(2m-1)} \ \ \ \cdots★★★ \end{eqnarray}, が成立し、★★★は $ m=1 $ のときも成立する（∵左辺、右辺ともに1/2になる）。したがって、任意の正の偶数 $ N $ に対し、, \begin{eqnarray} \sum_{m=1}^{\frac{N}{2}}A_{2m} \le \sum_{m=1}^{\frac{N}{2}}\frac{1}{2m(2m-1)} \end{eqnarray}, が成立する。この後 $ N\to\infty $ としたとき右辺が交代級数となりlog2=0.69...に収束することを証明できれば求める級数の小数第1位の数字が6であることが確定する。, 今回、$ f(x) $ は $ f(x)=\left({\rm Arc sin} x\right)^2 $ という閉じた式で表現することもできますが、こうしたところで特段解きやすくなるわけでもありません。むしろ(2)で $ f(x) $ を逐次微分していくことを優先的に考えてしまい、導関数が複雑すぎてパニックに陥ってしまうでしょう（実際私もそうなりました……）。(1)で得た $ -xf_1(x)+(1-x^2)f_2(x)=2 $ という式が重要な手掛かりとなり、これの両辺を微分していくと同じような形の式が得られ、規則性を発見することができます。, 時刻2においてコマが頂点Aに位置するための条件は、コマが時刻0から A→B→A または A→C→A と進むことである。よって、$ p_2=\dfrac{3}{6}\times\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\times\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $ である。また、時刻3においてコマが頂点Aに位置するようなコマの進め方は、時刻0から A→B→C→A または A→C→B→A の2通りである。よって、$ p_3=\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{6}\times\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{6}\times\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{9} $ である。, 時刻n-1においてコマが頂点A (resp. 数学実況-数強は問題をこう見てる ・京大数学実況＃1（京大理系数学2020 問2） ・京大数学実況＃2（京大文系数学2020 問3） ・京大数学実況＃3（京大理系数学2015 問6） ・超良問数学実況＃1（東邦大学） ・超良問数学実況＃2（阪大理系数学2000 問4） \end{eqnarray}, となる。よって、任意の自然数 $ n $ に対し $ A_n\ge 0 $ であり、$ N\ge 6 $ のとき、, \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{N}A_n \ge \sum_{n=1}^{6}A_n = \frac{109}{180} > \frac{108}{180} = 0.6 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} A_{2m} &=& \frac{2^{m - 1}\left( (m - 1)!\right)^2}{(2m)!} A, B, B, C, C)に、かつ時刻nにおいてコマが頂点B (resp. しかし、2020年度阪大理系数学が簡単だと話題なので見てみました。 C, A, C, A, B) に位置する確率を$q_n$ (resp. そんなの誰でも出来るじゃないか もしそうなら私は悲しいよ。 2 pt. ネットで大学入試解答を見ると受験生がその場で思いつきにくいものが多いと感じたため、整数問題に限り様々な解法を考えて公表します。簡単のため合同式は既知だとみなします。まず最初は京大理系数学2020第４問です。今月中に公開予定。, https://note.com/yuki_kumao/n/n539816ffee39 861 名前を書き忘れた受験生 2020/03/02 14:06. }{(m - 1)! 京都大学理学部2020年度特色入試独自解答. 大問1なんかは今の私でも解けそう笑 しかし、上がると見せかけて意外に上がらない可能性もあります。 時には東大レベルに難しいセットが出されることもしばしばでした。 京大理学部の特色入試（ＡＯ入試）は書類選考＋数学の筆記試験＋口頭試問＋共通テスト（センター試験）という構成になっており、中でも数学の試験は4時間に亘る数オリ級の超難問だらけのテストであり、私みたいに数オリ非経験者の人間が受けると、迷走してゴールが見えなくなってしまうような問題ばかりです。大問は4つで、1つにつき20点、計80点満点です。実際、4時間で大問4つが全て解き切れることはまずあり得ません。私の学校の非常勤の先生で理学部の特色入試に合格された方がいらっしゃるのですが、その先生は大問4つのうち1つは完遂、1つはまあまあ、1つはほとんど手を出さず、そして残りの1つは白紙、だったそうです。, ……そんな特色入試への対策として、今回は2019年11月に実施された2020年度の問題を解いてみて、ここに独自で解答を作ってみました（最初、4時間で解いてみて、解けたのは大問1の(1)と大問3の(1)だけでした……。その後は時間無視で頑張って出来る限りのことをやりました）。宜しければ参考にして下さい。ただ、独自解答ですので、正確性は保証しません（論理的な誤りや不適切な表現があったりするかもしれません）。ご了承下さい。, なお、問題文は著作権の関係上ここには掲載しません。問題文は京都大学のホームページで閲覧することができますので、そちらをご参照下さい（閲覧期限は2022年3月25日まで）。, $ y=f(x) $ とおく。$ \sin\left(\sqrt{f(x)}\right)=x \Leftrightarrow \sin(\sqrt{y})=x $ の両辺を $ x $ で微分すると、, \begin{eqnarray} \cos(&\sqrt{y}&) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot y' = 1 \\ \therefore y' &=& \frac{2\sqrt{y}}{\cos(\sqrt{y})} \\ \therefore y'' &=& 2 \cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot y' \cdot \cos\left(\sqrt{y}\right) - \sqrt{y} \cdot \left(-\sin(\sqrt{y})\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot y'}{\cos^2\left(\sqrt{x}\right)} \\ &=& 2 \cdot \frac{1+\sqrt{y}\tan(\sqrt{y})}{\cos^2\left(\sqrt{x}\right)} \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} && -xf'(x)+(1-x^2)f''(x) \\ &=& -\sin(\sqrt{y})y'+\cos^2(\sqrt{y})y'' \\ &=& -2\sqrt{y}\tan(\sqrt{y})+2\left(1+\sqrt{y}\tan(\sqrt{y})\right) \\ &=& 2 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} (1-x^2)f_{n+2}(x)=(2n+1)xf_{n+1}(x)+n^2f_n(x) \ \ \ \cdots★ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} -xf_1(x)+(1-x^2)f_2(x)=2 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} && -f_1(x)-xf_2(x)+(-2x)f_2(x)+(1-x^2)f_3(x)=0 \\ &\therefore& (1-x^2)f_3(x)=(2\cdot 1+1)xf_2(x)+1^2\cdot f_1(x) \end{eqnarray}, (ii) $ n=k\ (k=1,2,3,\cdots) $ のとき★が成立する、すなわち, \begin{eqnarray} (1-x^2)f_{k+2}(x)=(2k+1)xf_{k+1}(x)+k^2f_k(x) \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} && -2xf_{k+2}(x)+(1-x^2)f_{k+3}=(2k+1)f_{k+1}(x)+(2k+1)xf_{k+2}+k^2f_{k+1}(x) \\ &\therefore& (1-x^2)f_{k+3}=(2(k+1)+1)f_{k+2}(x)+(k+1)^2f_{k+1}(x) \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} && (1-0^2)a_{n+2}=(2n+1)\cdot 0\cdot a_{n+1}+n^2a_n \\ &\therefore& a_{n+2}=n^2a_n \ \ \ \cdots★★ \end{eqnarray}, という漸化式が得られる。また、$ x\to +0 $ のとき $ y=f(x)\to +0 $ となるので、, \begin{eqnarray} && a_1=\lim_{x\to +0}f_1(x)=\lim_{y\to +0}\frac{2\sqrt{y}}{\cos(\sqrt{y})} =0, \\ && a_2=\lim_{x\to +0}f_2(x)=\lim_{y\to +0} 2 \cdot \frac{1+\sqrt{y}\tan(\sqrt{y})}{\cos^2\left(\sqrt{x}\right)}=2 \end{eqnarray}, となる。よって、$ n $ が奇数のときは帰納的に $ a_n=0 $ となる。$ n $ が偶数のとき、$ n=2m $（$ m $ は自然数）とおくと、★★より, \begin{eqnarray} && a_{2(m+1)}=(2m)^2a_{2m}=\left(\frac{2^{m+1}}{2^m}\frac{m! この記事を読む. スキしたくなさそうな記事を思いついたぞ。まあ、執筆に丸３日はかかりそうなのですけど。応募作品は京大理系数学のある一つの解法にする予定です。それは愚直すぎるのでたぶん数が減るでしょうね。（基本的にはスキは嬉しいけど、これに応募したい。）. 2020.04.06. 数学 2020/08/21 数学実況-数強は問題をこう見てる . ブログを報告する, $ g'(x) = 0 $ となる実数 $ x $ が存在しない場合: 常に $ g'(x)>0 $、または常に $ g'(x)<0 $ となる。よって、$ g(x) $ は実数全体で単調である。, $ g'(x) = 0 $ となる実数 $ x $ が存在する場合: そのうち値が最も大きいものを $ M $ とすると、$ M $ より大きい実数 $ x $ に対し常に $ g'(x)>0 $、または常に $ g'(x)<0 $ となる。よって、$ g(x) $ は. 2.0.1 京大数学の解説; 2.1 京大数学は意外と簡単; 京大の入試問題. （2019年11月に行われた特色入試の問題です。 ... IA 16 共通テストIIB 16 東京大学 94 東大理系 58 東大文系 36 京都大学 132 京大理系 62 京大文系 50 京大特色 20 高校入試 5 東京都 5 東京公立 5 競プロ 15 AtCoder 15 PAST 13 ABC 1 AGC 1. )^2}=\frac{a_{2m}}{2^{2m}\left( (m - 1)!\right)^2}=\cdots=\frac{a_2}{2^{2\cdot 1}\left( (1-1)!\right)^2}=\frac{1}{2} \\ &\therefore& a_{2m}=\frac{1}{2}\cdot 2^{2m}\left( (m - 1)!\right)^2= 2^{2m-1}\left( (m - 1)!\right)^2 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} a_n=\begin{cases} 0 &&(n:\ odd) \\ 2^{n-1}\left( (\frac{n}{2} - 1)!\right)^2 \ \ \ &&(n:\ even) \end{cases} \end{eqnarray}, $ \dfrac{a_n}{n!2^{\frac{n}{2}}}=A_n $ とおく。$ n $ が奇数のとき $ a_n=0$ により $ A_n=0 $ であり、$ n $ が偶数のとき、$ n=2m $（$ m $ は自然数）とおくと、, \begin{eqnarray} A_n=\frac{2^{2m-1}\left( (m - 1)\right)^2}{(2m)!2^m}=\frac{2^{m - 1}\left( (m - 1)\right)^2}{(2m)!} 試験年度一覧 . 1.1 京大の数学. これはある意味、阪大から『阪大生もっと頑張れ』というメッセージとも考えられます。, 2019年度は数学が難しかったですが、合格最低点は理学部・基礎工学部・工学部で560点～580点前後でした。, 今年は数学が2019年度より明らかに簡単です。 やや難レベルの問題が頻出することで数名な阪大理系数学。 (まず間違いなく600点は超えます。流石に。). この記事を読む. 実際、2011年度とか問題ムズ過ぎで、とてもじゃないですが普通の数学が得意な受験生レベルで解けるとは思えませんでした。, 難し過ぎるので完答できる受験生がほとんどおらず、部分点で大量に点をくれるような採点になっていました。医学部医学科レベルの受験生にとっては丁度良かったのかもしれません。, でもそれでは、数学がそこそこできる受験生とできない受験生であまり差がつかないですよね。難し過ぎると、数学が得意な受験生と、苦手な受験生で差がつかなって入試の意味を果たせなくなります。, こういった事情から教授会などで問題となり、『受験生のレベルに合った問題を出せ！』と偉い人に指摘されたのではないでしょうか？ 京大数学実況＃2 . 【2020年度】京大(理系数学・文系数学)の大手予備校難易度評価を比較(大幅難化！ gyakutenh 2020年3月7日 2020年度京都大学の理系数学および文系数学について、 大手予備校 は難易度をどう評価したのか、3大予備校各社を比較しました。 3 pt. 桃子. 問題編 問題 四面体 ... ia 16 共通テストiib 16 東京大学 94 東大理系 58 東大文系 36 京都大学 132 京大理系 62 京大文系 50 京大特色 20 高校入試 5 東京都 5 東京公立 5 競プロ 15 atcoder 15 past 13 abc 1 agc 1. ただ周辺部を詰め込んだ … 数学 2020/08/21 数学実況-数強は問題をこう見てる . 目次 . 数学 2020/08/20 京大数学実況＃1 . 数学の参考書: 投稿者:京大オケ志望 (男:兵庫) [受験生] 投稿日:2020/11/09 11:17:31 No:13117 法学部志望の高3です。 プラチカ3周、世界一分かりやすい京大文系数学1周が終わって、東進の2次過去問演習も数学は9年分終わりました。 $r_n$, $s_n$, $t_n$, $u_n$, $v_n$)とする。このとき、, \begin{eqnarray} &&q_n+r_n+s_n+t_n+u_n+v_n=1, \\ &&p_{n-1}=q_n+r_n, \\ &&p_n=s_n+u_n, \\ &&p_{n+1}=\dfrac{4}{6}q_n+\dfrac{4}{6}r_n+\dfrac{2}{6}t_n+\dfrac{2}{6}v_n \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} p_{n+1}&=&\dfrac{2}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3}\left(1-q_n-r_n-s_n-u_n\right) \\ &=&\dfrac{2}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3}\left(1-p_{n-1}-p_n\right) \\ &=&-\dfrac{1}{3}p_n+\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3} \ \ \ \cdots① \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} \left(p_{n+1}-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}\left(p_n-\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{1}{3}\left(p_{n-1}-\dfrac{1}{3}\right)=0 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} q_{n+1}+\dfrac{1}{3}q_n-\dfrac{1}{3}q_{n-1}=0 \end{eqnarray}, となる。ここで、2次方程式 $ x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}=0 \Leftrightarrow 3x^2+x-1=0 $ の2解として $ \alpha=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}, \beta=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6} $ とおくと, \begin{eqnarray} &&q_{n+1}-(\alpha+\beta)q_n+\alpha\beta q_{n-1}=0 \\ &\therefore&q_{n+1}-\alpha q_n=\beta(q_n-\alpha q_{n-1}) \ \ \ \cdots②, \\ &&q_{n+1}-\beta q_n=\alpha(q_n-\beta q_{n-1}) \ \ \ \cdots③ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} q_{n+1}-\alpha q_n&=&(q_1-\alpha q_{n-0})\beta^n \\ &=&\left(-\dfrac{1}{3}-\alpha\cdot\dfrac{2}{3}\right)\beta^n \\ &=&-\dfrac{1}{3}(1+2\alpha)\beta^n \ \ \ \cdots④ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} q_{n+1}-\beta q_n=-\dfrac{1}{3}(1+2\beta)\alpha^n \ \ \ \cdots⑤ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} q_n=\dfrac{1}{3(\beta-\alpha)}\left\{(1+2\beta)\alpha^n-(1+2\alpha)\beta^n\right\} \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} -1=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{6}<\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}=\alpha<\beta=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}<\dfrac{-1+\sqrt{49}}{6}=1 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}q_n&=&\dfrac{1}{3(\beta-\alpha)}\left\{(1+2\beta)\cdot 0-(1+2\alpha)\cdot 0\right\} \\ &=&0 \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}p_n&=&\lim_{n\to\infty}\left(q_n+\dfrac{1}{3}\right) \\ &=&\dfrac{1}{3} \end{eqnarray}, この大問は今回の問題全体の中で一番簡単でしょう。隣接3項間漸化式の応用問題です。一般入試で出されても全くおかしくないレベルだと思います。, 整数 $k, n$ について $ k
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