素数とは, 1と自分自身の2つ以外に約数をもたない自然数である. “Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis”, https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/#.W6l4nF6LAG9.twitter, https://drive.google.com/file/d/17NBICP6OcUSucrXKNWvzLmrQpfUrEKuY/view, https://digital.asahi.com/articles/ASL9T42NNL9TULBJ004.html?_requesturl=articles/ASL9T42NNL9TULBJ004.html&rm=606, “Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d/f1983.image, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf, “More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”, http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781, http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0, “Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces”, http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html, “On the Riemann hypothesis and the difference between primes”, http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S1793042115500426, Notices of the American Mathematical Society, http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf, “Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN, “On the Roots of the Riemann Zeta-Function”, Transactions of the American Mathematical Society, “On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. 初代iPhone SEからiPhone 12 miniに変えたらいいことづくめでした! 素数の出方はランダムではなかった。1億個調べて浮かんだ奇妙な数. H 358–361 に記されている：, 定理 (Hecke; 1918). i Thus, the theorem is true!! このように１から１０までの数の中で、10を割り切ることができる数が約数というものでしたね。, どんな数が素数になるんだろう？っていうことを考えるために１から10までの数を取り上げて考えていきますね。, その為、どの数が素数になるのかを瞬時に言えるようになっておくと問題を解いていく上で役に立ちますからね。, それでは30までと言わず、数全体で考えたときに素数って全部で何個くらいあるか分かりますか？, そして、素数は無限個あることが証明されているのですが、まだまだ発見されていない素数というのがたっくさんあるんですね！, これを聞いた当時中学生の私は、素数を発見しようと一生懸命に頑張った記憶がありますｗ, 46733318335923109998833558556111552125132110281771449579858233859356792348052117720748431109974020884962136809003804931724836744251351914…, ① 基礎力アップ！点をあげるための演習問題 ② 文章題、図形、関数のニガテをなくすための特別講義 ③ わからないを解決！質問対応サポート ④ オリジナル教材の配布など、様々な企画を実施！. 2 1 [注 3], リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 L-関数に置き換えることによって、リーマン予想を一般化することができる。このより広い設定において、大域的 L-関数の非自明な零点の実部が 1/2 であると期待される。リーマンのゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想よりもむしろ、これらの一般化されたリーマン予想が、数学におけるリーマン予想の真の重要性の理由である。, 一般化されたリーマン予想 (generalized Riemann hypothesis) は、リーマン予想を全てのディリクレの L-関数へ拡張したものである。とくにこの予想は、ジーゲルの零点（英語版）（1/2 と 1 の間にある L 関数の零点）が存在しないという予想を含んでいる。, 拡張されたリーマン予想 (extended Riemann hypothesis) は、リーマン予想を代数体の全てのデデキントゼータ関数へと拡張したものである。有理数体のアーベル拡大に対する拡張されたリーマン予想は、一般化されたリーマン予想と同値である。リーマン予想は代数体のヘッケ指標の L-関数へ拡張することもできる。, 大リーマン予想（英語版） (grand Riemann hypothesis) は、全ての保型形式のゼータ関数（例えばヘッケ固有形式（英語版）のメリン変換）へ拡張したものである。, リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものは2019年9月現在存在しない。Watkins (2007) はいくつかの正しくない解答をリストしており、より多くの正しくない解答は頻繁に発表されている[14]。, 例えば2004年には、ルイ・ド・ブランジュが証明に成功したと発表したが後に否定された[15][16]。2018年には、マイケル・アティヤが微細構造定数の導出の副産物としてリーマン予想を証明したと発表したが、多くの専門家は懐疑的に見ている[17][18]。この論文は王立協会が発行する科学誌に投稿され、専門家らにより検証が進められている[19]。, ヒルベルトとポリヤはリーマン予想を導出する1つの方法は自己共役作用素を見つけることであると提案した。その存在から ζ(s) の零点の実部に関する例の主張が、実固有値に主張を適用すると従うのである。このアイデアのいくつかの根拠は、零点がある作用素の固有値に対応するリーマンゼータ関数のいくつかの類似から来る：有限体上の多様体のゼータ関数の零点はエタールコホモロジー群上のフロベニウス元の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点はリーマン面のラプラス作用素の固有値であり、p 進ゼータ関数の零点はイデール類群へのガロワ作用の固有ベクトルに対応する。, Odlyzko (1987) は、リーマンゼータ関数の零点の分布はガウスのユニタリアンサンブル（英語版）から来るランダム行列の固有値といくつかの統計学的性質を共有していることを示した。これはヒルベルト–ポリヤ予想にいくらかの根拠を与える。, 1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティング（英語版）は古典ハミルトニアン H = xp のある未知の量子化 ここでの証明の手法は本当にすごい．一般リーマン予想が正しいならば，定理は正しい．一般リーマン予想が間違いならば，定理は正しい．したがって，定理は正しい!! Copyright © mediagene Inc. All Rights Reserved. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. を導き、量子調和振動子（英語版）のスペクトルとして自然数が得られる。重要な点は、ハミルトニアンは量子化がヒルベルト–ポリヤプログラムの実現であるように自己共役作用素であるべきことである。この量子力学の問題との関連で、ベリーとコンヌは以下を提案した。ハミルトニアンのポテンシャルの逆は関数, (Connes 1999). ^ 賞金のかかった大物ということである。 「そのリーマン予想が解けたということなんですか？」 ... √を使った、また別の数学の世界もあるわけです。素数を大切にするというのは、そういういろいろある中の、一つのものの見方なんですね」 頷きながら、何だか僕は不思議な感じがした。急� 数学者の最新研究で、素数の出方に驚くべきパターンがあり、従来は知られていなかった｢バイアス｣が働いていることが明らかになりました。, 小4の算数（アメリカの場合。日本は中1）で習ったように、素数とは｢その数と1でしか割れない数字｣です。 2、3、5、7、11、13、17など。その出方は神出鬼没で予測不能。求める公式すらありません。, パターンが存在するかどうかも不可知なら、人類の数学者の叡智を結集してそれが解けるかどうかも不可知。ただ唯一、数学者の一致した見解は、｢この素数がこれだから次の素数はこれ、という予測はできない。なぜならば、素数の出方はランダムだからだ｣ということぐらいでした。, ところがこの｢ランダムネス｣の仮説をスタンフォード大学のKannan Soundararajan数学科教授とポスドク（博士研究員）のRobert Lemke Oliverさんが実証しようとしたら、なんとランダムネスすらも存在しなくて、その並び方には想定外のバイアスがあることが判明したのです。ニュー・サイエンティストが早速内容を報じてます。, ふたりが調べたのは最初の1億個の素数。この1億個で出方のランダムネスを調べてみたら、｢1で終わる素数｣の次がまた｢1で終わる素数｣になる確率はたったの18.5%だったのです。本当にランダムならこの確率は25%じゃないとおかしいですよね（素数の末尾はかならず1、3、7、9なので、確率は4つにひとつ）。｢パターン｣と呼ぶにはあまりにも弱い。でもさりとて100%ランダムでもない。なんなのだ、この18.5%という中途半端な数字は！！！！となった模様です。, 試しにほかの数字でも調べてみました。｢3｣と｢7｣で終わる素数が連続して出る確率は30%、｢9｣で終わる素数が連続して出る確率は約22%でした。ここで重要なのは、この傾向は十進法とは無関係なこと。つまり素数それ自体に本来備わった属性なのです。, なぜそうなるのか？ まったくもって理解不能です。その辺のことについてSoundararajan教授とLemke Oliver研究員は、古くからある｢素数k組予想（k-tuple conjecture）｣（双子素数、三つ子素数、四つ子以上の素数の出方に関する考察）とたぶん関連があるんじゃないか、と睨んでます。, …と言われてもサッパリわからないのでClearerThinking.org創設者の数学者Spencer Greenbergさんに取材してみたら、素数k組予想とは素数同士の近さを理解する試みなのだと教えてくれました。｢というか、もっと正確に言うと、数が大きくなればなるほど、隣合った素数の幅はどうなるのかってことだね。それがだいぶ詳しくわかるのさ｣。たとえば、数学者は｢5つ等間隔で並んでる素数｣とかも調べられるんだそうですよ？ 素数k組予想とはいわば近くの素数を見つける際の｢constraint（拘束）｣の研究。今回の研究ではこの｢拘束｣で面白いことがわかった、ということですね、はい。, ｢数が大きくなっていくと、束縛は減っていって、末尾の数の配分も等分になっていくように思えますよね。だって素数はどんどんレアになっていくんだから｣（Greenbergさん）。でもここで忘れちゃいけないのは素数は円周率πと同様、ものすごくランダムに見えるんだけど、実際はランダムでもなんでもないことです。｢素数は数のもつ属性によって、カッチリ正確に決められている。単に人間がその出方を見ても、われわれの脳にはパターンが見えない、だからデタラメの狂気に見える、それだけの話なんでしょう｣と語ってくれました。, いや～、今回の発見はかなりワクワクしてしまったのですが、双子素数予想、リーマン予想をはじめ、ほかの素数の研究のブレイクスルーになる研究ではないらしいです。というか、数学や数の定理の解明にはまったくなんの影響もないし、なんの用にも立たない発見とのことです。でも数学者Andrew Granvilleさんはニュー・サイエンティストにこう語ってますよ。, ｢これでさらに理解が深まった。どんな小さなことでも助かる。それまで当たり前と思っていたことが違うとわかれば、ほかの自分ではもうわかりきってると思ってることも考え直すきっかけになるからね｣.
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