i(t)&=&\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} &=&\displaystyle\frac{E}{R}-1×e^{D}\\ \frac{di(t)}{dt}=\frac{E-Ri(t)}{L}\tag{15} \end{eqnarray}, この「微分方程式」を解くと、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)を導出することができ、次式の指数関数となります(次式の導出方法については、導出過程がかなり長くなるため、この記事の後半に詳しく説明しています)。, RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)のグラフは上図のようになります。このグラフについて説明します。, 繰り返しになりますが、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)の式は次式となります。, (5)式の\(t\)に『\(t=0\)』と『\(t=∞\)』を代入した時を考えてみましょう。, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, この記事では上式を微分方程式を解く最も基本的の変数分離形の微分方程式で解いていきます。なお、上式はラプラス変換でも解くことができます。, ラプラス変換で解く方法については以下の記事に詳しく説明していますので、参考にしてください。, RL直列回路にキルヒホッフの電圧則(キルヒホッフの第二法則)を用いると次式が成り立ちます。, \begin{eqnarray} 4.4. \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, (5)式において、『\(i(0)\)』は『\(t=0\)』の時におけるRL放電回路に流れる電流です。スイッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替える前は、RL放電回路に流れる電流\(i(t)\)が『\(\displaystyle\frac{E}{R}\)』であるため、次式が成り立ちます。, \begin{eqnarray} v_{L}(t)&=&L\frac{di(t)}{dt}\\ i(0)&=&\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}×0}\right)\\ \end{eqnarray}, つまり、『\(t=∞\)』の時、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は『\(v_{L}(∞)=0\)』となります。, これは、スイッチ\(SW\)をオンし、しばらく時間が経過すると、インダクタ\(L\)は短絡されたような状態であるため、インダクタ\(L\)にかかる電圧がゼロになることを表しています。, したがって、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)のグラフは『\(v_{L}(0)=E\)』から『\(v_{L}(∞)=0\)』になるように減少していくのですが、この減少具合は時定数τ(タウ)によって変わります。, また、時間tが時定数τ(タウ)と等しくなる時、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は以下の値となります。, (4)式はRL直列回路に流れる電流\(i(t)\)に関する「微分方程式」となり次式となります。, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, この記事では、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)はRL放電回路に流れる電流\(i(t)\)を微分することで求めましたが、キルヒホッフの電圧則でも求めることができます。(1)式と(12)式を用いると(13)式と同じ結果になりますよ。, 当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧には以下のボタンから移動することができます。, RL直列回路の過渡現象を『微分方程式』を用いて解く方法を説明しています。微分方程式を解く基本的なパターンである『変数分離形の微分方程式』で解いています。. {\Leftrightarrow}0&=&\displaystyle\frac{E}{R}-e^{0}×e^{D}\\ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} &=&RI(s)+sLI(s)-\frac{E}{R}L\tag{7} &=&-Ee^{-\frac{R}{L}t}\tag{13} ¨¸ 波形：下降 ©¹ t be 2 時定数の求め方 ①電源を短絡除去する ②l，c とr を直列の形にする v r l s i(t) l rl 2 r rc 2 cr ° ® °¯ 回路 回路 v_{R}(t)&=&E\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\ \end{eqnarray}, つまり『\(t=0\)』の時、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は『\(v_{L}(0)=E\)』となります。, これは、スイッチ\(SW\)をオンした瞬間、インダクタ\(L\)は開放されたような状態であるため、インダクタ\(L\)に直流電源の電圧\(E\)の全電圧がかかるということを表しています。, \begin{eqnarray} E=v_{R}(t)+v_{L}(t)\tag{1} &=&E\tag{11} \frac{1}{E-Ri(t)}\frac{di(t)}{dt}=\frac{1}{L}\tag{16} v_{R}(t)&=&Ri(t)\tag{2}\\ \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, この回路の場合、『\(t=0\)』の時、すなわち、スイッチ\(SW\)をオンした瞬間は、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)はゼロとなります。, \begin{eqnarray} E=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}\tag{4} \end{eqnarray}, 以上より、電流\(i(t)\)に関するものを左辺に、時間\(t\)に関するものを右辺になるように分離できました。, すなわち、『\(□di(t)=□dt\)』の形になるように変形することができました。なお、インダクタ\(L\)と抵抗\(R\)と直流電源の電圧\(E\)は定数なので、左辺にあっても右辺にあってもどっちでも良いです。, \begin{eqnarray} webテキストで学ぶ 電験三種合格支援サイト > webテキスト(投稿順) > 理論 > 10.電気一般 > 過渡現象 > point02 rl直並列回路の過渡現象(回路に流れる電流波形) \end{eqnarray}, \begin{eqnarray} &=&Ee^{-\frac{R}{L}t}\tag{12} v_{L}(t)&=&-Ee^{-\frac{R}{L}t} この記事ではカレントミラー(Current Mirror)について基本的な内容から等価回路や原理まで詳しく説明します。 カレントミラーとは？ カレントミラー(Current Mirror)とは、名前の ... スナバ回路を設計する際、スナバ抵抗での消費電力を考慮する必要があります。 今回はこのスナバ抵抗の消費電力の式＆導出方法を説明します。 スナバ回路の消費電力 トランジスタ等のスイッチがオフ時に印可される ... RC放電回路の過渡現象を『ラプラス変換』を用いて解く方法を説明しています。回路方程式をラプラス変換して、s領域の方程式にし、ラプラス逆変換して、t領域の方程式に戻すことにより解きます。. \end{eqnarray}, 抵抗\(R\)の単位は『\(v_{R}(t)=Ri(t){\Leftrightarrow}R=\displaystyle\frac{v_{R}(t)}{i(t)}\)』より, \begin{eqnarray} v_{R}(t)&=&Ri(t)\\ {\Leftrightarrow}-\log_{e}\left(\displaystyle\frac{E}{R}-i(t)\right)+A&=&\frac{R}{L}t+B\tag{22} v_{L}(t)&=&Ee^{-\frac{R}{L}t} i(0)&=&\displaystyle\frac{E}{R}-e^{-\frac{R}{L}×0}×e^{D}\\ \end{eqnarray}, \(\displaystyle\frac{R}{L}\)は定数なので、積分の外に出すことができるので、(19)式の右辺は次式のように変形できます。, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, つまり、『\(t=0\)』の時、『\(e^{D}=\displaystyle\frac{E}{R}\)』となります。なお、積分定数\(D\)を求めても良いですが、(25)式において、『\(e^{D}\)』をそのまま代入できます。, そのため、今回は『\(e^{D}=\displaystyle\frac{E}{R}\)』までの導出で大丈夫です。, (26)式を(25)式に代入すると、次式となり、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)を導出することができました。, \begin{eqnarray} &=&\frac{E}{R}-\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\tag{27} i(t)&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\\ \end{eqnarray}, (9)式に(8)式を代入すると、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は次式となります。, インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)のグラフは上図のようになります。このグラフについて説明します。, 繰り返しになりますが、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)の式は次式となります。, (10)式の\(t\)に『\(t=0\)』と『\(t=∞\)』を代入した時を考えてみましょう。, \begin{eqnarray} rl直列回路の過渡現象を『微分方程式』を用いて解く方法を説明しています。微分方程式を解く基本的なパターンである『変数分離形の微分方程式』で解いています。『変数分離形の微分方程式』とは、変数を左辺と右辺に分離した微分方程式のことです。 i(t)&=&\frac{E}{R}-e^{-\frac{R}{L}t}×e^{D}\\ v_{R}(t)&=&Ri(t)\tag{2}\\ \end{eqnarray}, (1)式において、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)とインダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は次式で表されます。, \begin{eqnarray} \log_{e}\left(\displaystyle\frac{E}{R}-i(t)\right)=-\frac{R}{L}t+D\tag{23} &=&\frac{E}{R}\left(1-e^{0}\right)\\ &=&-\log_{e}\left(\displaystyle\frac{E}{R}-i(t)\right)+A\tag{20} この記事ではRL放電回路の『ラプラス変換による過渡現象の解き方』について説明しています。, 分かりやすく説明するために、図を多く用いており、式の導出過程も細かく書くように意識しています。, 上図は抵抗\(R{\mathrm{[Ω]}}\)、インダクタ\(L{\mathrm{[H]}}\)、直流電源\(E{\mathrm{[V]}}\)、スイッチ\(SW\)からなるRL放電回路です。, →つまり、RL放電回路に流れる電流\(i(t)\)が『\(i(t)=\displaystyle\frac{E}{R}{\mathrm{[A]}}\)』となる。, なお、電流\(i(t)\)が一定値\(0{\mathrm{[A]}}\)となった状態を「定常状態」、「定常状態」に至るまでの状態を「過渡状態」、その過程で見られる現状を「過渡現象」といいます。, また、RL放電回路に流れる電流\(i(t)\)、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)、インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)の式とグラフは下記となります。, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, まず、(4)式の\(L\displaystyle\frac{di(t)}{dt}\)を左辺に、\(E\)を右辺に移動して、両辺にマイナスを掛けると、次式となります。, \begin{eqnarray} \end{eqnarray}, つまり、『\(t=∞\)』の時、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)は『\(i(∞)=\displaystyle\frac{E}{R}\)』となります。, これは、スイッチ\(SW\)をオンし、しばらく時間が経過すると、インダクタ\(L\)は短絡されたような状態であり、抵抗\(R\)によってRL直列回路に流れる電流が制限されているということを表しています。, したがって、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)のグラフは『\(i(0)=0\)』から『\(i(∞)=\displaystyle\frac{E}{R}\)』になるように増加していくのですが、この増加具合は『インダクタ\(L\)÷抵抗\(R\)=\(\displaystyle\frac{L}{R}\)』の値によって変わります。, この、\(\displaystyle\frac{L}{R}\)は一般的に時定数τ(タウ)と呼ばれています。, 時定数τ(タウ)は過渡現象がどのくらい続くのかを表す目安を表しており、単位は[s]となります。, 今回のRL直列回路に流れる電流\(i(t)\)のグラフの場合、『\({\tau}=\displaystyle\frac{L}{R}\)』の大きさによって以下のように変わります。, また、時間tが時定数τ(タウ)と等しくなる時、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)は以下の値となります。, RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)が分かると、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)を簡単に求めることができます。, (5)式を(2)式に代入すると、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)は次式となります。, 抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)のグラフは上図のようになります。このグラフについて説明します。, このグラフですが、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)はRL直列回路に流れる電流\(i(t)\)に\(R\)を掛けただけです。, すなわち、RL直列回路に流れる電流\(i(t)\)のグラフと同じようなグラフとなります。, スイッチ\(SW\)をオンした瞬間、インダクタ\(L\)は開放されたような状態であるため、抵抗\(R\)にかかる電圧がゼロになることを表しています。, スイッチ\(SW\)をオンし、しばらく時間が経過すると、インダクタ\(L\)は短絡されたような状態であるため、抵抗\(R\)に直流電源の電圧\(E\)の全電圧がかかるということを表しています。, インダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)はキルヒホッフの電圧則(キルヒホッフの第二法則)を用いると簡単に求めることができます。, \begin{eqnarray}
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