解答の どのような $0$ 以上の $2$ つの整数 $m$ と $n$ を用いても $x=3m+5n$ とは表すことができない $1$ 以上の $x$ をすべて求めなさい。, 今の問題を一般化した性質です。示すのはちょっと大変なので、とりあえずここでは「実験して規則性を確かめる」これだけ押さえておけばOKです。, この参考書一冊やり込めば、大学受験の整数問題で怖いものはほとんどなくなるでしょう。結構古い書籍ですが、一番オススメな参考書です。, 「整数の性質」の総まとめ記事です。本記事では、整数の性質の解説記事全２５個をまとめています。「整数の性質をしっかりマスターしたい」「整数の性質を自分のものにしたい」という方は必見です。, じゃあ、$a_n≡0 \pmod{p}$ となるように、上手く $n$ を設定するか！, $n=p-2$ として、$6a_{n}$ を考えれば、フェルマーの小定理が使えるぞ…？. 合同式の利用【2005年数学オリンピック】 イズミの解答への道
不定方程式$$3p^3-p^2q-pq^2+3q^3=2013$$を満たす自然数 $p$，$q$ の組をすべて求めなさい。, \begin{align}3p^3-p^2q-pq^2+3q^3&=3(p^3+q^3)-pq(p+q)\\&=3(p+q)(p^2-pq+q^2)-pq(p+q)\\&=(p+q)(3p^2-3pq+3q^2-pq)\\&=(p+q)(3p^2-4pq+3q^2)\end{align}, \begin{align}( \ p+q \ , \ 3p^2-4pq+3q^2 \ )=( \ 3 \ , \ 11×61\ ) \ , \ ( \ 11 \ , \ 3×61 \ ) \ , \ ( \ 33 \ , \ 61 \ )\end{align}, \begin{align}3p^2-4pq+3q^2&=3p^2+6pq+3q^2-10pq\\&=3(p+q)^2-10pq\end{align}, 問題. Copyright © 2005-2020 イズミの数学 All Rights Reserved. 正二十面体の体積を求めてみよう。
すべての正の整数 n に対して 5n + an + b が 16 の倍数となるような 16 以下の正の整数 a , b を求めよ。
条件：頂点A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る
国際数学オリンピック（imo）の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。 マスターデーモン（整数問題） 20世紀最難問（幾何不等式） 過去問の中で最難問（組合せ） さて、この五角数定理ですが、少し書き下してみましょう, \begin{align*}(1-q)(1-q^2 )(1-q^3 )(1-q^4)\cdots=1-q-q^2+q^5+q^7-q^{12}-q^{15}+q^{22}+q^{26}-\cdots\end{align*}, さらにこの等式のやばさを体感していただくために、左辺を有限個の積で計算してみましょう。, \begin{align*}(1-q)(1-q^2 )&=1-q-q^2+q^3\\ ${}_n \text{C}_r$を二項係数とするとき、次の和を求めよ。
F_q (a,b;x)&=-\frac{(1-b)aq}{b-aq}+\frac{(1-aq)(b-aqx)}{b-aq} F_q (aq,b;x)\end{align*}, が得られます。これを合わせて\(F_q (aq,b,qx)\)との関係式が計算できます。, $$F_q (a,b;x)=\left(\frac{1-b}{1-x}\right)\left(1-\frac{b-aqx}{b-aq}aq\right)+\frac{(1-aq)(b-aqx)(b-aq^2 x)}{(1-x)(b-aq)} F_q (aq,b;qx).$$, $$(1-x)F_q(a,b;x)=(1-b)\left(1-\frac{b-aqx}{b-aq}aq\right)+\frac{(1-aq)(b-aqx)(b-aq^2 x)}{b-aq}F_q(aq,b;qx).$$, さらに\(a=x,b=0\)とし、\(f_q (x)=(1-x)F_q (x,0;x)\)とおくと\(f_q(x)\)に関する関係式, $$f_q(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}x^{3n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n+1)}x^{3n}$$, $$\lim_{x \to 1}(1-x)F_q(a,b;x)=\frac{(aq;q)_{\infty}}{(bq;q)_{\infty}}$$, $$(q;q)_{\infty}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n+1)}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}$$, つまり、オイラーの五角数定理が証明されました…。鮮やかです。もう何でしょうね、全ての式が美しく見えてきます。ずっと登場している複素パラメータの \(q\) なんて、もうそのフォルム自体が美しくないですか？, この世には、アルファベット \(q\) が大好きな人類（いわゆる「 \(q\) -人類」）と、そうでない人類の２つに分かれます。 岡本は前者です。, ※【パラメータ \(q\) について】実は \(q\)-解析という数学の一分野があります。量子群や組み合わせ論、結び目不変量、特殊関数、ラマヌジャンのテータ函数など様々な話題と結びついており、いまでも多くの人を魅了しています（と信じています）。, いかがでしたでしょうか？もちろん細かい議論や式変形などは言及していませんが、五角数定理の証明の雰囲気と美しさを少しでも感じて頂ければ幸いです。なお、今回の内容は「オイラーに学ぶ『無限解析序説』への誘い（野海正俊）」と「Basic Hypergeometric Series and Applications (Nathan J. そもそも円周率とはなんだったか？ という定義を知らないと書き出しから困ります。解答には円周率の定義を書くことも必要となります... 問題
まず、Hを中心とする円に内接する正五角形ABCDEについて考える。
(2) 「関数 y = f ( x ) が x = a で微分可能である」と「関数 y = f ( x ) が x = a で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。
(5)の式を得られれば勝ったも同然です。 今までは文字だけの進行でしたが、ついに具体的な数字が登場します。 除雪車は1時間で2マイルの除雪を完了し \( x(t) \)は「除雪車が移動した距離」でした。 正午の時刻は\( t = 0 \) 正午から1時間後は\( t = 1 \) 左辺は「全て自然数 \(m\) に対して積」を考えており、右辺では「全ての整数 \(n\) に対して和」を考えています。こうしたいわゆる「無限積＝無限和」という等式はリーマンゼータ函数の等式, $$\prod_{p:\text{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n^s}$$, と同様になんとも言えない妖艶な雰囲気を醸し出しており、私の大好物です（なお、この等式の左辺も「オイラー積」と、やはりオイラーの名が冠されています）。 \prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m-1}x)&=(1-x)(1-qx)(1-q^2x)\cdots=(x;q)_{\infty}\end{align*}, \((x;q)_N\)や、その無限積版 \((x;q)_{\infty}\) を \(q\)-ポッホハマー記号といいます。, かなり詳細は省略しますが、まずはヤコビの三重積公式というものを証明します。流れはまず、有限積版の\((x;q)_N (q/x;q)_N\) を計算し、極限操作 \(N\to \infty\)で\((x;q)_{\infty} (q/x;q)_{\infty}\)を求めます。ちょっとした式変形と「\(q\)-二項定理」, $$\prod_{m=1}^N(1+q^{m-1}x)=(-x;q)_N=\sum_{n=0}^N\frac{(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}x^n$$, \begin{align*}(x;q)_N(q/x;q)_N&=(-1)^N q^{\frac{1}{2}N(N-1)}x^{-N}(q^{-N}x;q)_{2N}\\[0.5em] (1-q)(1-q^2 )(1-q^3 )(1-q^4 )(1-q^5 )&=1-q-q^2+q^5+q^6+q^7-q^8-q^9-q^{10}+q^{13}+q^{14}-q^{15}\end{align*}, 最終的には無限に掛け合わせるので、右辺は形があまりはっきりしないですが、どうやら絶妙に各項がキャンセルし合い、生き残る項はなんと五角数の冪のみというのが五角数定理です！なんとも不思議ですね。, 右辺は\(1,2,3,4,\ldots\)と続く、いわばもっとも自然な数の並びの「掛け算」です。それが五角形を起源とする数の「足し算」として結び付けられる…。どうやら「五角形」というのは実は非常に自然な形なのかもしれません。 Copyright© WAKARA Corporation. しかし、分子にある場合、つまり、, という積分は a = tanθ という置き換えでも解くことができません。 $1$ 次式と $1$ 次式の平方とその積で割った余り: : c: 20’ 複素数と方程式. Copyright © 2005-2020 イズミの数学 All Rights Reserved. (1) 整数を係数とする3次方程式で、αを解に持つものがあることを示せ。
剰余の定理. &=\sum_{n=0}^{2N}\frac{(q^{2N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}q^{\frac{1}{2}(-N+n)(-N+n-1)}(-x)^{-N+n}\end{align*}, を得ます。またここで、\((x;q)_n=\frac{(x;q)_{\infty}}{(q^n x;q)_{\infty}} \)という変形を考え整理すると, $$(x;q)_N(q/x;q)_N=\sum_{n=-N}^N\frac{(q^{N-n+1};q)_{\infty}(q^{N+n+1};q)_{\infty}}{(q^{2N+1};q)_{\infty}(q;q)_{\infty}}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}(-x)^n$$, $$(x;q)_{\infty}(q/x;q)_{\infty}=\lim_{N\to \infty}(x;q)_N(q/x;q)_N=\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}(-x)^n.$$, 両辺に\((q;q)_{\infty}\)を掛けることでヤコビの三重積公式を得ました。, $$(x;q)_{\infty}(q/x;q)_{\infty} (q;q)_{\infty}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}(-x)^n.$$, 仕上げです。上の公式において \(x\to q\), \(q\to q^3 \)という、うまい置き換えを行います。すると左辺は, $$(q;q^3)_{\infty}(q^2;q^3)_{\infty}(q^3;q^3)_{\infty}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{3m-2})(1-q^{3m-1})(1-q^{3m})=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^m )$$, $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{3}{2}n(n-1)}(-q)^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{\frac{3}{2}n(n-1)+n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}$$, $$\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^m) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}$$, が証明されました！うまい変形ですね…！うますぎて馬になっちゃいそうです。なにはともあれ、これでオイラーの五角数定理はもうあなたのものです！！, $$F_q (a,b;x)≔1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(aq;q)_n}{(bq;q)_n} x^n $$, \(q\) は先ほどと同様に \(|q|<1\) を満たす複素パラメータとしておきます。ちょっとした変形により\(F_q (a,b;qx)\) と\(F_q (aq,b;x)\) の関係式, \begin{align*}F_q (a,b;x)&=\frac{1-b}{1-x}+\frac{b-aqx}{1-x} F_q (a,b;qx)\\ 多項式の一致と代入値の一致: : d: 20’ 複素数と方程式. ≡3・1+2・1+6・1−6 (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"マスター・オブ・整数―大学への数学","b":"","t":"","d":"https:\/\/images-fe.ssl-images-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/51Vkh7AQuDL.jpg","\/51-WHIDuCyL.jpg","\/51C71-rav9L.jpg","\/51aOc-hNOPL.jpg","\/51800Lv7RML.jpg","\/41uWWWXbrgL.jpg","\/41rpFrHdN4L.jpg","\/51a9WVafMxL.jpg","\/519hgKewvKL.jpg","\/51qr0LI80UL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/%E3%83%9E%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%96%E3%83%BB%E6%95%B4%E6%95%B0%E2%80%95%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%A0%97%E7%94%B0-%E5%93%B2%E4%B9%9F\/dp\/488742017X","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1578840","rakuten":"1578837"},"eid":"F9lSL","s":"s"}); 良問にたくさん触れ、そしてじっくり考えることで、整数問題と仲良くなっていきましょう♪, いつも楽しく拝見しております。 ［2003 東京大・理］
とはいえ、 が分母にある場合は上述のように a = tanθ と置き換えれば解くことができます。 は Ameba新規登録(無料) ログイン.
芸能人ブログ 人気ブログ. 今日は誠に勝手ながら和の講師岡本が狂おしいほど好きな数学の定理の1つ「オイラーの五角数定理」について熱く語っていこうと思います。 新型コロナの影響もあり、ご自宅で1日を過ごすことが多くなってきたと思います。数学の話題で一息したい、あるいは n を自然数とする。 n, n + 2, n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。
「整数問題の解き方のコツ」を知りたいですか？本記事では、整数問題の難問・良問3選（数学オリンピックや大学入試問題）の解き方のコツから、おすすめ参考書（整数問題集）まで、わかりやすく解説します。「整数問題マスター」になりたい方必見です！ だと思われます。
超難問 です。 ... 本問では 微 積分 を使い ... 本問では以下の5つの未知数（変数）が必要になります。 \( t = \) 正午から経過した時間（時） \( x(t) = \) 除雪車が移動した距離 (マイル) \( h(t) = \) 雪が積もった高さ（インチ） \( b = \) 雪が降り始めてから正午までに経過した時間（時） \( k_1 今後とも何卒よろしくお願いいたします。, ウチダショウマ。数学が大好きな２５歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験１発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか１年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, 問題. ところで、 を含む積分は、以下の方法で統一的に解くことができます。そこで、別解としてその解法を上げておきましょう。ポイントは、, とおくことです。脈略がないので「なぜ？」と思うかと思いますが、ここでは「 を含む積分は、このように置き換える」と覚えておくとよいでしょう。なぜこの解き方ができるかは別ページで紹介します。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。. 定積分 $\displaystyle \int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx$ を求めよ。[2007 京都大・理乙]イズミの解答への道 積分はある程度は慣れですが、「なんとなく」で解いているようでは答え ［1997 一橋大］
剰余の定理. (1) ${}_n \text{C}_0 + {}_n \text{C}_1 + {}_n \text{C}_2 + \cdots + {}_n \... 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
よって本記事では、整数問題の難問・良問 $3$ 選を解く上で押さえておきたい考え方および解き方のコツから、おすすめの整数問題集まで, など様々な方法がありますが、ここでは一番簡潔に解ける後者のやり方で解いていきます。, 上記の式変形は、フェルマーの小定理第 $1$ 形式より、$p$ と互いに素な自然数 $n$ に対して$$n^{p-1}≡1 \pmod{p}$$が成り立つことを利用した。, ≫参考記事：フェルマーの小定理の２通りの証明とは？【京大入試を含む問題３選も解説】, よって、$6a_{p-2}$ は $5$ 以上のすべての素数 $p$ で割り切れることが判明した。, つまり、ある自然数 $n$ に対し、$a_{n}$ は $5$ 以上の素数 $p$ で必ず割り切れる、ということを意味する。, あと確認すべきなのは、素数 $2$，$3$ を素因数に持つ $a_n$ があるかどうか。, 以上より、すべての素数を素因数に持つことがあるとわかったため、求める自然数は $1$ のみである。, というか、この問題がスラスラ解けた方は、ぜひ数学オリンピックに出場してください。(笑), ノーヒントで解答に移りますので、ぜひここで一度立ち止まって、じっくり考えてみてください＾＾, ※ $3p^2-4pq+3q^2>p+q$ かつ $p+q≧1+1=2$ であることに注意する。, ⅰ）～ⅲ）をそれぞれ解いたとき、$pq$ が自然数となるのは ⅱ）のみであり、$pq=18$ となる。, したがって、$p+q=11$ かつ $pq=18$ を満たす自然数 $p$，$q$ の組は, $$( \ p \ , \ q \ )=( \ 2 \ , \ 9\ ) \ , \ ( \ 9 \ , \ 2 \ )$$, $3p^3+3q^3$ と $-p^2q-pq^2$ に分けて因数分解をすれば、ここまで式がキレイになるのですね！, $x=3m+5・0=3m$ より、$3$ の倍数の自然数をすべて表すことができる。, $x=3m+5・1=3(m+1)+2$ より、$m+1≧1$ なので$$x=5 \ , \ 8 \ , \ 11 \ , \ …$$, つまり、$3$ で割った余りが $2$ である $5$ 以上の自然数をすべて表すことができる。, $x=3m+5・2=3(m+3)+1$ より、$m+3≧3$ なので$$x=10 \ , \ 13 \ , \ 16 \ , \ …$$, つまり、$3$ で割った余りが $1$ である $10$ 以上の自然数をすべて表すことができる。, この問題を解く上での発想のポイントは、$n=0 \ , \ 1 \ , \ 2$ を代入することで規則性が見える点ですね＾＾, よって、$(3-1)・(5-1)=8$ 以上の自然数をすべて表すことができるので、あとは $7$ までで表せないものを確認していくだけです。.
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