統計学の「23-3. 差の行列を作成. 有意水準は、検定において帰無仮説を設定したときにその帰無仮説を棄却する基準となる確率のことです。（アルファ）で表され、5%（0.05）や1%（0.01）といった値がよく使われます。有意水準は検定を行う前に設定しておきます。, 有意水準を0.05に設定するということは、「5%以下の確率で起こる事象は、100回に5回以下しか起こらない事象だ。したがってこのようなまれな事象が起こった場合、偶然起こったものではないとしてしまおう」という意味です。したがって、P値が0.05（5%）を下回った場合、そのP値は偶然取る値ではないと結論付けられます。言い換えると、「極めて珍しいことが起こった」あるいは「何かしら意味があることである（＝”有意である”）」ということを表します。, しかし、P値が5%以下となったとしても本当に偶然まれな事象が起こった場合もあるので、有意水準は「本当は帰無仮説が正しいのに、誤ってを棄却してしまう確率」とも言えます。この「本当は帰無仮説が正しいのに、誤ってを棄却してしまうこと」を「第1種の過誤」といい、は「第1種の過誤を犯す確率」とも呼ばれます。, 有意水準と対するものとして、「検出力」があります。検出力は1-で表されるもので、「帰無仮説が正しくないときに、正しくを棄却する確率」のことです。このは「第2種の過誤の確率」を表します。第2種の過誤の確率とは「対立仮説が正しいときに、誤って帰無仮説を棄却しない確率」のことです。, 統計WEBを運営するBellCurveは、統計解析ソフト「エクセル統計」を開発・販売しています！. 階段状になったら、アルファベットを割り振っていきます。 2. 「5%以下の確率で観測される値が出た」⇒「0とは有意差がある」 という風に考えます。 この有意水準ですが、 基本的に5%と設定します (より厳しく実施する場合は1%の場合もあります。 ちなみに、今回得られた結果が「コインを10回投げたら1回しか表が出なかった」である場合には、p値は \(0.022(< 0.05)\) となり、有意水準 \(5\)% で帰無仮説が棄却されます。 （「有意差がある」と表現されることもあります） 有意水準は「ある仮説を否定した判断が誤りである確率 \(P(H_0|reject)\) 」と誤解されがちですが、実際には両者は大きく異なる値です。, 有意水準は第一種の過誤確率、つまり「帰無仮説が正しい場合に、誤って帰無仮説を棄却（否定）してしまう確率 \(P(reject|H_0)\) 」を意味します。, 有意水準5%とは仮説が正しい場合にこの手順を多数回実施して検定を行うとき、間違って帰無仮説を棄却する割合が5%であるという意味であり、特定の判断が間違っている確率が5%ということではない。, 出典：改訂版 日本統計学会公式認定 統計検定2級対応 統計学基礎(東京図書)p144, かなりややこしい部分のため、誤解されることも少なくない用語ですが、統計的仮説検定を行う上で非常に重要な存在です。, p値と有意水準の説明をする前に、いくつか知っておくべき統計用語があるので、まずはそこから見ていきましょう。, ①帰無仮説：棄却（否定）されることを目的に立てられる仮説のこと。\(H_0\) と表記されます。, 上の例では「このコインは偏りのないコインであり、表が出る確率は \(50\)％ である」という仮説が帰無仮説になります。, 「偏りのないコインである」という仮説を否定するだけの根拠を明示することで、「偏りのあるイカサマコインだ」と主張したい、ということですね。, ②統計量：標本データから目的に応じて計算される「データの特徴を表す確率変数」のこと。, 統計量は試行のたびに値が変動する確率変数であり、大文字のアルファベットで表されます。, 上の例では「コインを \(n=10\) 回投げたときに表が出る回数 \(X\)」が統計量です。帰無仮説の下では \(n=10 , p = 0.5\) より \(X\) は二項分布 \(B(10,0.5)\) に従います。, ③統計量の実現値：得られた標本から計算して求められた「統計量が実際に取る値」のこと。, 実現値は確定した値なので、試行のたびに色々な値をとる可能性のある統計量 \(X\) とは区別され、\(x\) と表記されます。, 上の例では「コインを10回投げたら2回しか表が出なかった」という結果が得られていることから、\(x=2\) となります。, 帰無仮説が正しいという条件の下で、今回得られた「統計量の実現値」以上に極端な「統計量」が観測される確率のことを、p値（有意確率）と言います。, 「その仮説が正しいと仮定したら、今回みたいな結果が起きる確率はこんなにも低いんだ。偶然こんなに低い確率を引いたと考えるより、その仮説は正しくないと考える方が自然じゃない？」と主張するときの『こんなに低い確率』のことです。, p値が小さければ小さいほど、帰無仮説が正しくないと主張するのに強力な根拠となります。, 例）p値が \(0.0002\) と求まった。つまり帰無仮説が正しければ、今回起きたような現象は \(0.02\)％ の確率でしか起きない現象という事になる。偶然 \(0.02\)％ を引いたとは考えにくい以上、帰無仮説は正しくないといわざるを得ない。, ただ、どれだけp値が小さくても「偶然 \(0.02\)％ の確率を引いたのかも」と言われてしまうと何も主張できなくなってしまいますよね。, そこで、データを取る前には「p値がこの値より小さければ帰無仮説を棄却（否定）する基準」が設定されます。これが有意水準です。, ⑤-1：帰無仮説の下で偶然得られたと考えてもおかしくない値だと分かった場合、帰無仮説は棄却されない（帰無仮説が正しくないとは断定できない＝何も言えない）, ⑤-2：帰無仮説の下で偶然得られたとは考えにくいほど珍しい値だと分かった場合、帰無仮説を棄却する（帰無仮説が正しくないと判断する）, いくら極端な結果でも、何回もデータを取ればいつかは出るものなので、極端な結果が出てから仮説や有意水準を決めてもそれは意味の薄い検定となります。, ①：帰無仮説（否定したい仮説）は「\(H_0\) ：表が出る確率 \(p=0.5\)」, ②：検定に使う統計量は \(10\) 回投げて表が出る回数 \(X\) 。有意水準は \(5\)％ で両側検定(後述)する, ④：帰無仮説の下で今回得られた統計量の実現値 \(x=2\) 以上に極端な統計量 \(X\) が得られる確率（p値）を求める, 今回は「表が2回しか出なかった」わけですが、今回の結果以上に「\(p=0.5\) ではない」と主張できそうな極端な統計量としては「表が1回以下しか出ない」が挙げられます。, また、「表が8回以上出る」という場合も同じくらい「\(p=0.5\)」を否定する根拠になりうる極端な統計量と言えます。, このように、統計量の標本分布（下のグラフ）の両すそ部分をp値に含める検定を両側検定と言います。（片方の裾だけをp値に含める検定を片側検定と言います）, よって、\(X\) が二項分布 \(B(10,0.5)\) に従うという帰無仮説の下で今回得られた統計量の実現値 \(x=2\) 以上に極端な統計量 \(X\) が得られる確率（p値）は, \(P(X≤2|H_0)+P(X≥8|H_0)\)\(≒0.001+0.010+0.044+0.044+0.010+0.001=0.11\), つまり、偏りのないコインだった場合でも「コインを10回投げたら2回しか表が出なかった」以上に極端な統計量が得られる確率は \(11\)% もあったということが分かります。, ⑤-1：今回の有意水準は \(5\)% 、つまり \(0.05\) ですから、今回得られたp値 \((0.11)\) は有意水準 \((0.05)\) よりも大きな値ということになります。, すなわち、「コインを10回投げたら2回しか表が出なかった」という結果は「帰無仮説の下で偶然得られたと考えてもおかしくない値である」という結論になり、「このコインは偏りのないコインであり、表が出る確率は \(50\)％ である」という帰無仮説は棄却されないことになります。, 今回の結果はイカサマコインだ！と主張するのに十分な根拠にはならない、ということです。, 注意してほしいのが、帰無仮説が棄却されない場合でも帰無仮説が正しいという結論にはならないということ。つまり「偏りのないコインだ」とも主張できないのです。帰無仮説が棄却されなかった場合はどちらとも言えない（データの数が足りない）が答えとなります。, ちなみに、今回得られた結果が「コインを10回投げたら1回しか表が出なかった」である場合には、p値は \(0.022(< 0.05)\) となり、有意水準 \(5\)% で帰無仮説が棄却されます。, ⑤-2：「偏りのないコインなのに、偶然1回しか表が出なかった」とは考えにくいことから、統計学的に見て「このコインは偏りのあるイカサマコインであると考えられる」と主張できるだけの合理的な根拠がある、ということになります。, →この検定は \(P(H_0|D)\) を計算するものではありません。有意水準は \(P(reject|H_0)\) です。\(P(H_0|D)\) を計算するには情報が足りません。, ◎（正しい）「このコインが偏りのないコインと仮定したら、今回のような極端な結果が得られる確率は \(5\)% 未満。偶然こんなに低い確率を引いたとは考えにくいことから、このコインが偏りのあるコインであると考えることには一定の合理性がある」, 円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について, 分数の割り算はなぜひっくり返してかけるのか？その理由を説明する3つの教え方【逆数をかける理由】, 素数とは何か。素数の一覧とその利点について【1と自分自身でしか割り切れない数の強みとは？】.
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